2オペレータFM音源をC#で実装する｜サイン波2本で音を作る最小構成

はじめに

前回はFM音源の原理を、式 out = sin(2π·fc·t + I·sin(2π·fm·t)) 1本だけで説明しました。今回はその式を、そのままC#のコードに落とします。

ゴールはひとつだけ。キャリアとモジュレータの2個のサイン波（2オペレータ）で、実際に鳴る1音のPCM波形を生成することです。アルゴリズム（接続の組み合わせ）やオペレータを増やす話はまだ出しません。それは次回以降の領分で、今回は「最小のFM音源」に集中します。

オペレータは「位相を進めてsinを引く」だけ

FM音源の部品はオペレータと呼ばれます。難しそうな名前ですが、やることは1つです。自分の位相（phase）を毎サンプル少しずつ進めて、その位相の sin を返す。それだけです。

オペレータが持つ状態は、現在の位相と、自分の周波数です。ここで周波数は絶対値ではなく、基準となる音の高さ（ピッチ）に対する比 Ratio で持ちます。前回触れたとおり、こうしないと音の高さを変えたときに音色が崩れるからです。基準周波数 hertz に Ratio を掛けたものが、そのオペレータの実際の周波数になります。

// 1つのサイン波ユニット。状態は「位相」だけ。
public class FmOperator
{
    // 基準周波数に対する周波数比。1.0 ならピッチそのまま、2.0 なら1オクターブ上。
    public double Ratio { get; set; } = 1.0;

    private double _phase;

    // 1サンプル分、位相を進める。phaseModulation がFM変調の入力。
    public double Next(double baseHertz, int sampleRate, double phaseModulation)
    {
        var value = Math.Sin(2 * Math.PI * _phase + phaseModulation);
        _phase += baseHertz * Ratio / sampleRate;
        return value;
    }
}

位相を Ratio で決まる量だけ毎サンプル足していくこの操作を、位相累算（phase accumulation）と呼びます。baseHertz * Ratio / sampleRate が「1サンプルあたりに進む位相の量」です。たとえばサンプリングレートが44100Hzで、周波数440Hzのサイン波なら、1秒（44100サンプル）かけて位相がちょうど440周します。

Next の引数 phaseModulation が、FM音源の心臓です。ここに何か値を足し込むと、その瞬間だけ位相が前後にズレ、結果として周波数が揺さぶられます。何も足さなければ（0なら）、ただの素のサイン波です。

2個を直列に繋ぐ ＝ 前回の式

オペレータを2個用意します。1個をモジュレータ、もう1個をキャリアにして、モジュレータの出力をキャリアの phaseModulation に流し込む。これだけで2オペレータFMになります。

public class TwoOperatorFm
{
    private readonly FmOperator _modulator = new() { Ratio = 1.0 };
    private readonly FmOperator _carrier = new() { Ratio = 1.0 };

    // 変調指数 I。倍音の豊かさを決める。
    public double ModulationIndex { get; set; } = 2.0;

    public double Next(double baseHertz, int sampleRate)
    {
        // モジュレータは素のサイン波（変調入力なし）
        var mod = _modulator.Next(baseHertz, sampleRate, 0) * ModulationIndex;
        // キャリアの位相に mod を足し込む = 周波数変調
        return _carrier.Next(baseHertz, sampleRate, mod);
    }
}

この Next の中身を1行で表すと、

out = sin(2π·(fc)·t + I·sin(2π·(fm)·t))

になります。_carrier の位相が 2π·fc·t に、mod（＝I·sin(2π·fm·t)）がキャリアへの変調入力に対応します。前回の式が、そっくりそのままコードになっているのが見て取れるはずです。ModulationIndex が大きいほどキャリアの位相が大きく揺さぶられ、倍音が豊かになります。

サンプル単位のループで1音を埋める

あとは、欲しい長さ（サンプル数）のバッファを用意して、Next を呼び続けて埋めるだけです。出力は -1.0〜1.0 の double なので、16bit PCM（short）に変換するために short.MaxValue を掛けます。

public static short[] Generate2OpFm(double hertz, int sampleRate, int length, int volume)
{
    var fm = new TwoOperatorFm { ModulationIndex = 2.0 };
    var result = new short[length];
    var volumeMagnification = volume / 100d;

    for (var i = 0; i < length; i++)
    {
        var sample = fm.Next(hertz, sampleRate);
        result[i] = (short)(short.MaxValue * volumeMagnification * sample);
    }
    return result;
}

length は「鳴らしたい秒数 × サンプリングレート」で決まります。たとえば44100Hzで0.5秒なら22050サンプルです。このループを回すと、1音ぶんのFM波形が short[] に詰まります。これをWAVのデータ部に書き出せば、ブラウザやスピーカーで再生できます。PICOMでは、こうして作ったPCMをWAVバイナリに包んでWeb Audio APIで鳴らしています。

なぜ「直列」なのか、そして次回へ

今回繋いだのは「モジュレータ → キャリア」という1本の直列です。2オペレータでできる接続は、実質これだけです。だから今回はアルゴリズムという言葉を一度も使いませんでした。繋ぎ方が1通りしかないなら、繋ぎ方を選ぶという概念がそもそも要らないからです。

ところが、オペレータを3個4個と増やすと、「どれをどれに繋ぐか」の組み合わせが一気に増えます。直列で深く繋げば歪んだ複雑な音に、並列で足し合わせればオルガンのような音になります。この繋ぎ方のパターンこそがアルゴリズムで、FM音源の表現力の本体です。

次回は、2オペレータでは何が足りないのか、オペレータを増やすと何ができるようになるのかを、アルゴリズムという軸で見ていきます。

まとめ

• オペレータは「位相を毎サンプル進めてsinを引く」だけの1ユニットで、状態は位相のみ
• 周波数は絶対値でなく基準ピッチに対する比 Ratio で持つと、音の高さを変えても音色が保たれる
• モジュレータのsin出力をキャリアの位相に足し込むのが、前回の式そのもの
• サンプル単位のループで phase += freq / sampleRate と進めながら埋めれば、1音分のPCMが完成する
• 2オペレータの接続は直列1通りしかないので、アルゴリズムという概念はまだ要らない

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